DSP (Digital Signal Processing) – Souhrnný tahák a příprava na test

Tento dokument slouží jako komplexní, jednotný a vysoce strukturovaný přehled celé látky DSP pro přípravu na test. Obsahuje veškeré klíčové definice, vzorce, matematické rovnice, terminologii a oblasti praktického využití.

---

1. ÚVOD DO DSP A HISTORIE

• Definice: DSP (Digital Signal Processing) je odvětví počítačové vědy zabývající se manipulací se signály (úprava, filtrování, analýza, komprimace) po jejich A/D převodu do digitální podoby.
• Historické kořeny (60. a 70. léta): Kvůli drahým počítačům omezeno na kritické oblasti:
  • Radar a sonar (ochrana národní bezpečnosti)
  • Průzkum ložisek ropy (vysoký finanční přínos, seismická data)
  • Průzkum vesmíru (nenahraditelná data)
  • Lékařské snímkování (záchrana životů)
• Počítačová revoluce (80. a 90. léta): Rozšíření do komerční sféry (mobilní telefony, CD přehrávače, hlasový email).

Hlavní oblasti využití a technické parametry:

1. Telekomunikace:
   • Multiplexing: Převedení audia do sériového toku. T-carrier system přenáší 24 hlasových kanálů (vzorkování 8 kb/s, 8b logaritmická komprese / složený AD převod, 64 kb/s na kanál, celkem 1.544 Mb/s) přes kroucený měděný dvoudrát až na 1,8 km.
   • Komprimace: Redukce redundance (ze 64 kb/s na 32 kb/s bez ztráty; 8 kb/s pro telefonní sítě; ~2 kb/s pro armádu/podmořskou komunikaci).
   • Echo control: Potlačení ozvěn měřením vráceného signálu a generováním antisignálu. Odstranění akustické zpětné vazby ve sluchátkách.
2. Audio Processing:
   • Hudba: Vícestopý záznam, mix down. Artificial reverberation (umělá dozvuková simulace: prodleva 100s ms = katedrála; 10-20 ms = střední posluchárna).
   • Syntéza řeči: Digitální záznam (1 hodina = ~3 MB) vs. simulace hlasového ústrojí (hláskové zvuky – periodické pulzy hlasivek, a sykavkové zvuky – šumová turbulence štěrbinou).
   • Rozpoznávání řeči: Tvarová extrakce (excitace a rezonance) + tvarové srovnávání (porovnání s databází).
3. Echolokace:
   • Radar: Rádiové pulzy (us), měření času a směru antény. Trade-off mezi energií pulzu a přesností. DSP provádí pulzní komprimaci a filtraci šumu (vzorkování až 100 MHz).
   • Sonar: Aktivní (2–40 kHz, dosah 10–100 km) vs. pasivní (poslech pod vodou, dosah tisíce km). Využívá beamforming (řízené směrování pole elementů).
   • Odrazová seismologie: Zkoumání zemské kůry (>10 km) explozemi, oddělení primárních a sekundárních odrazů.
4. Image Processing:
   • Obrazy jako signály v prostoru (místo času), obrovský objem dat (10 MB/s pro TV).
   • Lékařství: CT (Computed Tomography) skener (1971, řezy těla z rentgenu) a MRI (Magnetic Resonance Imaging) (magnetické pole + rádiové vlny, rezonance jader).
   • Vesmír & Komerce: Korekce snímků sond, komprese obrazu pro masový trh (DVB-T, mobilech).

---

2. TERMINOLOGIE GRAFŮ A ZÁKLADNÍ STATISTIKA

• Spojitý signál: Plynulá řada hodnot v přírodě (analogové napětí).
• Diskrétní signál: Vzniká A/D převodníkem (kvantování v čase i amplitudě, např. 12bit, 1000 vzorků/sec).
• Osy v grafu:
  • Vertikální osa (Y): Amplituda, závislá proměnná ($y$), rozsah, ordináta.
  • Horizontální osa (X): Nezávislá proměnná ($x$), doména (časová, frekvenční, prostorová), abscissa, číslo vzorku / index $N$ (v DSP obvykle od $0$ do $N-1$).

Klíčové statistické vzorce:

1. Střední hodnota ($\mu$ – DC složka): $\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i$
2. Standardní odchylka ($\sigma$ – AC složka): $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$ (Ve jmenovateli je $N-1$ kvůli eliminaci statistické chyby a správnému odhadu procesu na pozadí).
3. Variance (Rozptyl – $\sigma^2$): Mocnina standardní odchylky vyjadřující výkonové účinky šumu.
4. Efektivní hodnota (RMS): Měří AC i DC složku současně: $\text{RMS} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2}$
5. Poměr signál-šum (SNR) a koeficient změny (CV): $\text{SNR} = \frac{\mu}{\sigma}, \quad \text{CV} = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\,\%$
6. Running statistics (Průběžná statistika): Průběžný výpočet ze 3 parametrů (počet vzorků, suma hodnot, suma mocnin) bez nutnosti opětovného průchodu daty.

---

3. SIGNÁL VERSUS PROCES NA POZADÍ

• Stacionární vs. nestacionární proces: Stacionární proces má konstantní pravděpodobnost (odchylky jsou jen šum). Nestacionární proces mění střední hodnotu/odchylku v čase (drift) – nutno rozdělit na úseky.
• Histogram ($H_i$): Počet vzorků nabývajících hodnoty $i$ (koše / biny). Celkový počet vzorků je $N = \sum H_i$. Výpočet statistik přímo z histogramu je až 10x rychlejší (klíčové pro obrázky).
• Pmf (Probability Mass Function): Váhová funkce pravděpodobnosti pro diskrétní data. Hodnoty v $\langle 0, 1 \rangle$, součet je roven 1 ($\sum \text{pmf} = 1$).
• Pdf (Probability Distribution Function): Ekvivalent pmf pro spojité signály (hustota pravděpodobnosti). Pravděpodobnost v intervalu je dána integrálem (plochou pod křivkou): $P = \int \text{pdf}(x) \, dx$, celková plocha = 1.
• Binning: Seskupování hodnot do pevného počtu intervalů (bins) při plovoucí řádkové čárce (kompromis mezi rozlišením X a Y).

---

4. NORMÁLNÍ ROZLOŽENÍ A SYNTÉZA ŠUMU

• Gaussovo rozložení (Gaussian / normální rozložení): Zvonovité pdf popsané střední hodnotou $\mu$ a odchylkou $\sigma$: $\text{pdf}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$
• Pravidla pro Gaussovo rozložení:
  • $\pm 1\sigma \rightarrow 68\%$ hodnot
  • $\pm 2\sigma \rightarrow 95\%$ hodnot
  • $\pm 3\sigma \rightarrow 99.75\%$ hodnot
• CDF (Kumulativní distribuční funkce): Integrál pdf, značí se $\Phi$, vyjadřuje kumulativní pravděpodobnost.

Syntéza digitálního šumu:

• RND generátor: Rovnoměrné rozdělení v $\langle 0, 1 \rangle$ (střední hodnota 0.5, $\sigma = 0.29$).
• Seed a pseudo-náhodná čísla: $R = (a \cdot S + b) \pmod c$. Možnost reseeding nebo použití RTG (Real-Time Generator).
• Centrální limitní věta (Central Limit Theorem): Součet většího množství nezávislých náhodných čísel konverguje ke Gaussovu rozložení.
  • Praktický postup (součet 12 RND): $X = \sum_{1}^{12} \text{RND} - 6$, vynásobit požadovanou $\sigma$ a přičíst $\mu$.

---

5. PRECISION VS. ACCURACY (PŘESNOST MĚŘENÍ)