DSP – Normální rozložení a syntéza šumu

Náhodné procesy a digitální šum v DSP velmi často vykazují zvonovitě tvarované rozdělení pravděpodobnosti, známé jako normální rozdělení, Gaussovo rozdělení nebo Gaussian.

Gaussovo rozložení a CDF

Matematické vyjádření Gaussovy křivky (pdf) závisí na střední hodnotě $\mu$ a standardní odchylce $\sigma$ : $\text{pdf}(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$ Rovnice musí být normalizována tak, aby celková plocha ohraničená křivkou byla rovna 1.

Pravidla pro Gaussovo rozložení (pravděpodobnosti v intervalech):

V rozmezí $\pm 1\sigma$ kolem střední hodnoty leží 68 % hodnot signálu.
V rozmezí $\pm 2\sigma$ leží 95 % hodnot.
V rozmezí $\pm 3\sigma$ leží 99.75 % hodnot.

CDF (Kumulativní distribuční funkce)

Integrál pdf, označovaný velkým řeckým písmenem fí ( $\Phi$ ): $\text{cdf}(x) = \int_{-\infty}^{x} \text{pdf}(t) \, dt$ Vyjadřuje kumulativní pravděpodobnost (např. hodnota $0.0228$ znamená 2.28% pravděpodobnost v daném rozsahu).

Syntéza digitálního šumu a Centrální limitní věta

Pro generování umělého šumu se používá generátor náhodných čísel (RND), který vrací hodnoty v intervalu $\langle 0, 1 \rangle$ (rovnoměrné rozdělení, střední hodnota $0.5$ , standardní odchylka $0.29$ ).

1. Pseudo-náhodná čísla a Seed

Generátor začíná s počáteční hodnotou seed ( $S$ ) a používá rekurzivní vztah: $R = (a \cdot S + b) \pmod c$ kde $a, b, c$ jsou konstanty. Pro změnu sekvence se provádí reseeding (např. pomocí Real-Time Generator – RTG).

2. Centrální limitní věta (Central Limit Theorem)

Říká, že součet většího množství nezávislých náhodných čísel konverguje ke Gaussovu rozložení.

Praktický postup pro generování Gaussova šumu (součet 12 náhodných čísel):
1. Sečíst 12 náhodných čísel z RND: $X = \sum_{k=1}^{12} \text{RND}_k$
2. Odečíst 6 (pro střední hodnotu $\mu = 0$ )
3. Vynásobit požadovanou standardní odchylkou ( $\sigma$ )
4. Přičíst požadovanou střední hodnotu ( $\mu$ )

Precision vs. Accuracy (Přesnost měření)

Accuracy (Správnost / Kalibrace): Posun střední hodnoty od skutečné hodnoty způsobený systematickými chybami.
- Zprůměrování naměřených hodnot accuracy nezlepší. Odstraní ji pouze kalibrace systému. ("Accuracy je měřítkem kalibrace.")
Precision (Opakovatelnost / Rozptyl): Šířka rozložení naměřených hodnot (řízeno standardní odchylkou $\sigma$ $σ$ , SNR nebo CV) způsobená náhodnými chybami (šumem).
- Zprůměrování vícero měření vždy zlepší precision. ("Precision je měřítkem náhodného šumu.")

Související poznámky

DSP – Úvod a oblasti využití – přehled oblastí DSP
DSP – Statistika a parametry signálů – statistické parametry a rovnice
DSP – Signál a proces na pozadí – histogram, pmf a pdf