DSP – Statistika a parametry signálů

Statistika a pravděpodobnost se v DSP používají k popisu signálů a procesů, které je vytvářejí. Prvotním úkolem DSP je omezení rušení, šumu a nežádoucích komponent v získaných datech.

Signál a terminologie grafů

Signál: Popis vztahu mezi dvěma parametry (např. závislost napětí na čase).
Spojitý signál: Plynulá řada hodnot existující v přírodě (např. analogové napětí).
Diskrétní (digitalizovaný) signál: Vzniká průchodem A/D převodníkem, kdy se parametry kvantifikují (vzorkovací frekvence, např. 1000 vzorků/sec, 12bitové hodnoty).

Terminologie os v grafu

Vertikální osa (Y): Amplituda, závislá proměnná ( $y$ ), rozsah, ordináta. Vyjadřuje naměřenou hodnotu (napětí, intenzita světla, tlak zvuku).
Horizontální osa (X): Nezávislá proměnná ( $x$ ), doména, abscissa. Čas, vzdálenost, frekvence nebo číslo vzorku (index $N$ ).
Domény v DSP: Časová doména (časové řady), frekvenční doména (spektrální analýza), prostorová doména (obrazová data).
Indexování vzorků: V DSP se obvykle používají indexy od $0$ do $N-1$ (např. $0$ až $511$ pro $N=512$ ), zatímco matematici často používají indexování od $1$ do $N$ .

Základní statistické veličiny a rovnice

1. Střední hodnota ( $\mu$ – mí)

Průměrná hodnota signálu. V elektronice odpovídá DC (stejnosměrné) složce. $\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i$ kde $N$ je celkový počet vzorků a $x_i$ je hodnota $i$ -tého vzorku.

2. Standardní odchylka ( $\sigma$ – sigma)

Měřítko kolísání signálu kolem střední hodnoty. V elektronice odpovídá AC (střídavé) složce signálu. $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}$ Poznámka: Ve jmenovateli se používá $N-1$ (namísto $N$ ) kvůli snížení statistické chyby a správnému odhadu procesu na pozadí z konečného počtu vzorků.

3. Variance (Rozptyl – $\sigma^2$ )

Mocnina standardní odchylkat, která se v DSP a statistice používá nejčastěji k vyjádření výkonových účinků fluktuací a šumu: $\text{Variance} = \sigma^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2$

4. Efektivní hodnota (RMS – Root-Mean-Square)

Měří obě složky signálu současně – AC i DC složku: $\text{RMS} = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2}$ Pokud signál nemá žádnou DC složku ( $\mu = 0$ ), RMS přesně odpovídá standardní odchylce $\sigma$ .

5. Poměr signál-šum (SNR) a koeficient změny (CV)

SNR (Signal-to-Noise Ratio): Poměr mezi střední hodnotou a standardní odchylkou: $\text{SNR} = \frac{\mu}{\sigma}$
CV (Coefficient of Variation / koeficient změny): Procentuální vyjádření poměru standardní odchylky ke střední hodnotě: $\text{CV} = \frac{\sigma}{\mu} \times 100\,\%$ (Např. CV = 2 % odpovídá SNR = 50).

Průběžná statistika (Running Statistics)

Výpočet statistik za běhu bez nutnosti opakovaného průchodu celou datovou sadou při přidání nového vzorku. Využívá tři sledované parametry:

Počet dosud zpracovaných vzorků ( $N$ )
Sumu hodnot vzorků ( $\sum x_i$ )
Sumu mocnin hodnot vzorků ( $\sum x_i^2$ )

Související poznámky

DSP – Úvod a oblasti využití – základy a aplikace DSP
DSP – Signál a proces na pozadí – histogram, pmf a pdf
DSP – Normální rozložení a syntéza šumu – Gaussovo rozložení, šum a Precision vs. Accuracy