DSP – Signál a proces na pozadí

V DSP je klíčové rozlišovat mezi snímaným signálem (fyzická data obsahující statistický šum) a procesem na pozadí (konstantní pravděpodobnostní charakteristiky, které signál vytvářejí).

Stacionární vs. nestacionární procesy

Stacionární proces: Pravděpodobnostní charakteristiky (střední hodnota $\mu$ , standardní odchylka $\sigma$ ) jsou v čase konstantní. Odchylky v datech jsou způsobeny pouze statistickým šumem.
Nestacionární proces: Střední hodnota nebo odchylka se v čase mění (např. pomalý drift). Globální výpočet statistik by obsahoval chybu, proto se signál dělí na kratší úseky.

Histogram, Pmf a Pdf

1. Histogram ( $H_i$ )

Vyjadřuje počet vzorků, které v daném signálu nabývají určité přípustné hodnoty $i$ (koše / biny, kde $i = 0, 1, \dots, M-1$ ).

Celkový počet vzorků $N$ v datové sadě je dán součtem všech bodů v histogramu: $N = \sum_{i=0}^{M-1} H_i$
Výpočetní optimalizace: Výpočet střední hodnoty a standardní odchylky přímo z histogramu namísto procházení všech $N$ vzorků (např. u obrázků s miliony pixelů) je řádově 10x rychlejší: $\mu = \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{M-1} (i \cdot H_i)$

2. Pmf (Probability Mass Function – váhová funkce pravděpodobnosti)

Teoretická křivka procesu na pozadí pro diskrétní data (vzniká normalizací histogramu pro $N \to \infty$ ).

Hodnoty pmf leží v intervalu $\langle 0, 1 \rangle$ .
Součet všech hodnot pmf je přesně rovna 1: $\sum_{i=0}^{M-1} \text{pmf}(i) = 1$
Určuje pravděpodobnost výskytu konkrétní diskrétní hodnoty v signálu.

3. Pdf (Probability Distribution Function – funkce rozdělení pravděpodobnosti)

Ekvivalent pmf pro spojité analogové signály.

Vertikální osa vyjadřuje hustotu pravděpodobnosti.
Pravděpodobnost výskytu hodnoty v určitém intervalu $\langle x_1, x_2 \rangle$ se počítá jako integrál (plocha pod křivkou pdf): $P(x_1 \le x \le x_2) = \int_{x_1}^{x_2} \text{pdf}(x) \, dx$
Celková plocha pod křivkou pdf je rovna 1: $\int_{-\infty}^{\infty} \text{pdf}(x) \, dx = 1$

4. Binning

Metoda seskupování hodnot do zvoleného počtu intervalů (bins, např. 1000) při použití plovoucí řádkové čárky. Počet binů je kompromisem ovlivňujícím rozlišení v ose X a ose Y.

Související poznámky

DSP – Úvod a oblasti využití – přehled oblastí DSP
DSP – Statistika a parametry signálů – střední hodnota a odchylka
DSP – Normální rozložení a syntéza šumu – Gaussovo rozložení, šum a rovnice šumu